Правильное "старомосковское" произношение (оно является нормой русского литературного языка) - дожжь. Как и, например, произношение молошница, сливошное, булошная, скушно и т.п. Так традиционно говорили актеры московского Малого театра. (с)
Очень старые родственники из московской актерской среды говорили именно так.